-. R, L, C 에 대한 특성과 KCL, KVL에 의한 회로 해석 방법으로 Filter의 원리를 확인해 보자.

    a. 우선 1차 Filter에 대해 논하기 전에 전압 분배 회로에 대해 알아보자.
                   
    위 회로는 전압 분배 회로이다. R1과 R2에 의해 Vout이 결정되는데, 이는 KVL을 이용하여 증명할 수 있다.  단, 여기서 Vout 으로 흐르는 전류는 0 이어야 한다. Vout 에 흐르는 전류가 0 이므로 R1과 R2에 흐르는 전류는 동일하다. 이를 'I' 로 놓고 KVL을 풀면, Vin 과 Vout의 관계는 다음과 같이 나타난다.

                 Vin = R1 * I + R2 * I 
                 Vout = R2 * I                            이므로,
                 Vout / Vin = R2 * I / { ( R1 + R2 ) * I }      가 되고 분자 분모에서 I를 소거하면,
                 Vout / Vin = R2 / ( R1 + R2 )                    입력대비 출력 관계식이 나온다.
        결국,  Vout = R2 / ( R1 + R2 ) * Vin                   우리가 잘 알고 잇는 수식으로 나오게 된다.

    b. 이 전압 분배 회로에 R 대신 C를 사용하게 되면?        
 
   위 회로도와 같이 된다.
   
   -> 좌측 회로도 KVL에 의해 정리해 보면 다음과 같다.

   Vin = R*I + 1/C*integ(i * di/dt)
   Vout = 1/C * integ(i * di/dt)
   Vout / Vin = { 1/C * integ(i * di/dt) } / { R*I + 1/C*integ(i*di/dt) }                    

이 수식을 Laplace 변환하고 I(s)를 소거하면,

   Vout(s) / Vin(s) = { 1/C * 1/s } / { R + 1/C * 1/s }
   Vout(s) = 1 / ( RCs + 1 ) * Vin(s)  과 같은 결과를 얻을 수 있게 된다.

   Laplace로 변환된 식을 Fourier 로 변환기키게 되면 주파수 특성을 볼 수 있게 되는데,
   변환 방법은 적분식에서 0~infinite(+)가 아닌 infinite(-) ~ infinite(+)까지 wt 에 대해서 해 주어야 한다. 하지만, 전자 회로의 특성상 t < 0 은 Source원을 0으로 보기 때문에 Fourier역시 0 ~ infinite(+) 까지 보아도 동일하다. 그러므로, Laplace의 s 항을 wt로 변환하면 된다.
   
   Vout(wt) = 1 / ( RC*wt + 1 ) * Vin(wt)   가 된다.
   여기서, wt -> 0 에 수렴시키게 되면, Vout = 1 * Vin 이 된다.
   하지만, wt -> infinite(+) 이 되게 되면, Vout = 0 * Vin 이 되게 된다.
   wt 의 의미가 주파수를 의미 하게 되므로 결국 주파수가 낮으면 입력을 그대로 출력하게 되고, 주파수가 높으면 입력을 차단하게 되는 LPF(Low Pass Filter)  가 되게 된다.

   -> 우측 회로도 KVL에 의해 정리해 보면 다음과 같다.

   Vin = R*I + 1/C*integ(i * di/dt)
   Vout = R*I
   Vout / Vin = { R*I } / { R*I + 1/C*integ(i*di/dt) }                    

이 수식을 Laplace 변환하고 I(s)를 소거하면,

   Vout(s) / Vin(s) = { R } / { R + 1/C * 1/s }
   Vout(s) = s / ( s + 1/RC ) * Vin(s)  과 같은 결과를 얻을 수 있게 된다.

   여기서도 마찬가지로 Laplace의 s 항을 wt로 변환하게 되면,
   
   Vout(wt) = wt / ( wt + 1/RC ) * Vin(wt)   가 된다.
   여기서, wt -> 0 에 수렴시키게 되면, Vout = 0 * Vin 이 된다.
   하지만, wt -> infinite(+) 이 되게 되면, Vout = 1 * Vin 이 되게 된다.
   wt 의 의미가 주파수를 의미 하게 되므로 결국 주파수가 낮으면 입력을 차단하게 되고, 주파수가 높으면 입력을 그대로 출력으로 전달하게 되는 HPF(High Pass Filter)  가 되게 된다.
   
   -> 과연 Filter는 얼마나 차단하고 얼마를 통과 시킬까?
    흔히들 1차 필터에서 R*C 를 Time-constant (시정수) 라고들 한다.
    시정수를 보고 차단주파수를 결정한다고 하는데,,,, matlab을 통해 확인해 보면 다음과 같다.
    
    R = 1000, C = 1nF 라고 하면, Time constant는 1us 가 되게 된다.
    
    Example) matlab의 command windows에서 다음과 같이 입력한다.
                 >> R = 1000; C = 1e-9;
                 >> num = [1];
                 >> den = [R*C 1];
                 >> sys = tf(num, den)
                  
                       Transfer function:
                                  1
                       --------------------
                       1e-006 s  +  1
                  

위와 같은 결과가 나오게 된다. bode 선도로 주파수 특성을 확인해 보면
                  >> bode(sys)
 

                                      

대충 주파수가 높아질수록 이득이 줄어 드는 것 같은데,  쉽게 이해 되지는 않는다.
rad/sec 라는 단위와 dB 이라는 단위가 친숙하지 않아서 그렇다.

그럼, 마우스 오른쪽 버튼을 이용해서 Property -> Unit tab에서 축의 단위를 Hz와 Abs로

변경해 보면, 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

               
                
 이제 우리가 잘아는 dimension으로 변경하니 이해가 쉬워진다. 

주파수가 100KHz 인 입력 신호가 들어오게 되면 입력대비 출력은 약 0.85정도로 감쇠되고,
위상은 약 -30도 정도 지연된다는 뜻이다.  입력 Peak치가 1V이면 출력에서는 약 0.85V가

된다는 의미다.

Time constant였던 1us -> 1MHz 는 0.18정도로 감쇠되고, 위상도 약 -80도정도 지연됨을

알 수 있다. 시정수의 3~4배정도를 보게 되면, 거의 95%이상 감쇠되는 것을 알수 있다. 

[출처] [Step 3] 1차 Filter에 대해...|작성자 끙끙이